P-Delta é um efeito de não-linearidade geométrica que ocorre em qualquer estrutura onde os elementos estão submetidos a forças axiais. Diferentes métodos de análise que consideram os efeitos P- Delta têm sido desenvolvidos. O objetivo deste estudo é fornecer uma pequena resenha aos engenheiros sobre os diferentes métodos de análise P-Delta encontrados na literatura, tais como: Método de Dois Ciclos Iterativo, Método da Carga Lateral Fictícia, Método da Carga de Gravidade Iterativa e Método da Rigidez Negativa.

Para fornecer um artigo que possa ser apreciado por engenheiros projetistas, o artigo também inclui uma simples introdução de como os efeitos P-Delta são considerados em quatro programas comerciais de análise estrutural (SAP2000N V.8, ANSYS V. 5.4, ALTOQI EBERICK V.5 e CAD/TQS V.11.5.53). Acredita-se que, de alguma forma, este trabalho possa ajudar os engenheiros projetistas na escolha do método de análise P-Delta a ser utilizado nos projetos.

Introdução

No desenvolvimento de projetos estruturais de edifícios, tradicionalmente, os projetistas utilizam uma análise linear elástica de primeira-ordem para determinar os esforços oriundos dos carregamentos atuantes na estrutura. A análise de primeira-ordem não considera os efeitos adicionais provenientes da deslocabilidade horizontal da estrutura.
Nas estruturas rígidas tais efeitos são pequenos e podem ser desprezados. Porém, com o aumento da esbeltez das estruturas e das possibilidades de análises oferecidas pela utilização de recursos computacionais, estudos sobre os efeitos da deslocabilidade horizontal tornam-se cada vez mais importantes. Na primeira situação a estrutura é considerada de nós fixos ou indeslocáveis e na segunda de nós móveis ou deslocáveis.

Este deslocamento horizontal da estrutura resulta em um acréscimo de esforços denominados de segunda-ordem. Caso estes efeitos sejam significativos é necessário considerar a não-linearidade geométrica para a obtenção dos esforços finais. P-Delta é uma análise não-linear geométrica que considera os efeitos da deslocabilidade horizontal nas estruturas. Pode-se dizer que é um efeito de segunda-ordem que associa a magnitude da carga axial (P) ao deslocamento horizontal (delta).
Em geral, dois tipos de efeito P-Delta podem ser identificados: α e. Segundo Chen e Lui, o efeito ocorre nos elementos da estrutura, levando em conta a instabilidade local; e o efeito P-Δ está relacionado com a instabilidade global da estrutura. A fig. 1 ilustra esses dois efeitos.


Fig. 1 – Dois tipos de efeito de segunda-ordem: P-δ e P−Δ, Dobson

De acordo com Zalka o principal objetivo da análise de segunda-ordem em um sistema estrutural é garantir sua estabilidade e sua capacidade resistente.
Determinados carregamentos, como, por exemplo, a ação do vento, propiciam o surgimento de deslocamentos horizontais que podem ocasionar efeitos de segunda-ordem significativos. Segundo a NBR 6118esses efeitos, em cuja determinação deve ser considerado o comportamento não-linear do concreto armado, podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura.
De acordo com Felippa na análise estrutural existem quatro tipos de comportamentos não-lineares cujos efeitos são identificados em termos do material, da geometria, das forças e dos deslocamentos devidos às condições de contorno.
Dentre os diversos tipos de não-linearidades apresentados, dois merecem destaque na mecânica estrutural: a não-linearidade física, tratada nas equações constitutivas e a não-linearidade geométrica considerada nas equações cinemáticas (relações entre deformações e deslocamentos) e nas de equilíbrio (relações entre forças de corpo e tensões)

Dispensa da consideração dos efeitos de sugunda-ordem de acordo com a NBR 6118

A NBR 6118 no seu item 15.5 apresenta dois processos aproximados que permitem verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos efeitos globais de segunda-ordem: o parâmetro de instabilidade α e o coeficiente γz.

Alguns comentários sobre análise de segunda-ordem

Ao contrário da análise de primeira-ordem na qual as soluções podem ser obtidas de forma relativamente simples e direta, a análise de segunda-ordem, na maioria das vezes, envolve procedimentos iterativos para obter as soluções. Isto ocorre devido ao fato da geometria deformada da estrutura ser desconhecida durante a formulação das relações cinemáticas e de equilíbrio. Conseqüentemente, a análise é feita de maneira incremental.
Em estruturas reticuladas, a consideração da não-linearidade geométrica dá origem aos efeitos P-Delta que podem ser refletidos de forma exata por meio de uma análise de segunda-ordem. Esses efeitos podem ser considerados, por exemplo, com a utilização de funções de estabilidade na formulação de viga-coluna ou através do Método dos Elementos Finitos (MEF) que utiliza a matriz de rigidez geométrica. Maiores detalhes sobre essas formulações podem ser encontrados em Chen e Atsuta e Cook.

Na aplicação das formulações de viga-coluna e na de elementos finitos deve-se atualizar constantemente a matriz de rigidez para considerar os efeitos da não-linearidade. Como a configuração de equilíbrio da estrutura é alterada diversas vezes, torna-se necessário realizar a análise em uma série de incrementos. Segundo Bathe existem diversos métodos de solução empregados na análise de problemas não-lineares: método do controle de carga, método do controle de deslocamento, método do controle de comprimento de arco e o método de controle de trabalho.

O método do controle de carga é talvez o mais antigo método utilizado na análise não-linear e inclui o método de Newton-Raphson, dentre outros, veja, por exemplo, YPMA. O método de Newton-Raphson considera tanto os efeitos P−δ quanto os efeitos P−Δ. A solução do sistema de equações é feita de uma forma incremental dividindo-se as cargas atuantes na estrutura em um número de passos de carga. Desta forma, a solução de um problema não-linear pode ser obtida através de uma série de análises lineares. Este tipo de solução pode ser muito trabalhoso e, em alguns casos, a solução pode divergir.

Análise de segunda-ordem simplificada

Segundo Chajes todas as estruturas se deslocam sob carregamento. O efeito deste carregamento atuando na configuração deformada da estrutura gera os efeitos de segunda-ordem.

Na análise estrutural, os efeitos de segunda-ordem são aqueles que se somam aos obtidos em uma análise de primeira-ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise passa a ser efetuada considerando a configuração deformada.

Os efeitos de segunda-ordem são geralmente prejudiciais à resistência e à estabilidade da estrutura e, por razões de segurança, estes efeitos devem ser levados em conta no dimensionamento. Para o caso em que soluções precisas não sejam necessárias (análises preliminares), pode-se recorrer a técnicas simplificadas que analisam os efeitos de segunda- ordem de forma aproximada. A utilização de técnicas simplificadas permite ao projetista fazer diversas análises antes do dimensionamento final da estrutura, de uma maneira relativamente simples.
Para um material elástico, a relação momento-curvatura é linear e a não-linearidade da estrutura é devida, exclusivamente, aos efeitos P-Delta

Consideração do efeito p-delta em alguns programas comerciais

Os efeitos da não-linearidade geométrica – efeito P-Delta – são considerados pela maioria dos programas comerciais de análise e dimensiomento estrutural. Descreve-se, neste trabalho, como alguns desses programas contemplam esses efeitos de segunda-ordem.

SAP2000N V.8: No manual do programa SAP2000 encontra-se que é necessária uma análise iterativa para determinar as forças axiais provenientes do efeito P-Delta em estruturas reticuladas. Encontra-se, também, que as forças axiais em cada elemento são estimadas por meio de uma análise preliminar da estrutura.

Posteriormente, considerando essas forças axiais previamente calculadas, as equações de equilíbrio são resolvidas novamente. Este processo pode criar variações nas forças axiais. Iterações adicionais são feitas até que as forças axiais e as deflexões laterais convirjam, atendendo uma tolerância de 0,01.

ANSYS V.5.4: Conforme mencionado no manual teórico do ANSYS, assumindo as hipóteses de que as deformações e rotações são pequenas, o efeito da não-linearidade geométrica pode ser considerado adicionando-se à matriz de rigidez elástica uma matriz denominada “matriz de rigidez de tensão” que é similar a matriz de rigidez geométrica. A matriz de rigidez de tensão é calculada baseado no estado de tensão das equações de equilíbrio. Precisa-se de no mínimo duas iterações, onde a primeira iteração é utilizada para determinar o estado de tensão que será usado para gerar a matriz de rigidez de tensão da segunda iteração. Se a rigidez adicional afetar as tensões, mais iterações devem ser feitas para obter a convergência da solução. O sistema de equações não-lineares pode ser resolvido utilizando-se os métodos de Newton-Raphson

ALTOQI EBERICK V.5: Na ajuda do programa encontra-se que “O processo utilizado pelo Módulo Master é o mesmo descrito no Anexo L da NBR 8800 (Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios), que se baseia no estudo do equilíbrio da estrutura deformada após a análise de 1ª ordem”. E descreve o procedimento da seguinte forma: “É efetuada uma análise estática linear de 1ª ordem da estrutura. Com base nos deslocamentos obtidos, são aplicadas cargas horizontais adicionais H em cada barra vertical (pilar) do pórtico, função do deslocamento horizontal relativo e da carga axial”.

O conjunto das cargas fictícias incrementa as cargas horizontais existentes. Uma nova análise leva a novos deslocamentos horizontais. Com base nos novos valores, o processo é repetido até que não haja diferença significativa entre duas iterações sucessivas. Em algumas situações, o processo P-Delta pode não convergir, significando que a estrutura é excessivamente instável. Após a última iteração, caso haja convergência, obtêm-se os deslocamentos finais. Com base nestes deslocamentos serão calculados os esforços internos para o dimensionamento.

CAD/TQS V.11.5.53: No capítulo “Aspectos teóricos da Análise não-linear” da ajuda do programa [9] encontra-se uma descrição da fundamentação teórica implementada. Na formulação são adotadas algumas hipóteses (Navier-Bernoulli; Pequenas deformações e rotações moderadas (da ordem da raiz da deformação); Material elástico linear; Uso do método dos elementos finitos como ferramenta de discretização).

O programa CAD/TQS adota o método de Newton-Raphson modificado que é um método de controle de carga com iterações.

Conclusões

Apresentam-se alguns métodos de análise P-Delta encontrados na literatura. Em geral, os projetistas fazem uma análise de primeira-ordem e usam procedimentos para verificar a dispensa da consideração dos efeitos de segunda-ordem, como o α e o γz. Entretanto, com o aumento da esbeltez das estruturas de concreto armado e com o avanço na área computacional, torna-se factível utilizar métodos exatos e/ou simplificados para considerar estes efeitos, conforme constatado em alguns programas comerciais de análise estrutural.

Os efeitos P-Delta podem ser refletidos de forma exata utilizando-se a formulação de viga-coluna com funções de estabilidade ou através do MEF que utiliza a matriz de rigidez geométrica. A consideração destes efeitos requer uma análise não-linear geométrica e pode ser muito trabalhosa e demorada computacionalmente.
Em análises preliminares pode ser vantajoso recorrer a técnicas simplificadas que analisam os efeitos P-Delta de forma aproximada. Neste trabalho, algumas destas técnicas foram abordadas: Método de Dois Ciclos Iterativo, Método da Carga Lateral Fictícia, Método da Carga de Gravidade Iterativa e Método da Rigidez Negativa.

O Método da Rigidez Negativa foi o único método simplificado encontrado que considera o efeito P− Δ de forma não-iterativa. Dentre os vários métodos iterativos, o Método da Carga de Gravidade Iterativa apresenta, segundo a literatura, resultados similares ao Método da Carga Lateral Fictícia. Contudo, o número de iterações do primeiro é geralmente menor do que o segundo, pois trata o efeito P−Δ de forma mais direta. O Método de Dois Ciclos Iterativo pode ser facilmente programado utilizando-se as matrizes de rigidez adequadas (viga-coluna ou MEF).

Apresentou-se também, sucintamente, como quatro programas comerciais consideram os efeitos P-Delta mostrando suas principais características.
Para se considerar uma análise mais completa e apropriada em projetos de estruturas é necessário realizar uma análise que considere os efeitos P-Delta. Este trabalho, pretende ajudar os projetistas no entendimento de como os programas comerciais levam em conta os efeitos da não-linearidade geométrica e ajudar na escolha do método de análise P-Delta a ser utilizado nos projetos.

Autores: Arlindo Pires Lopes1, Gláucyo de Oliveira Santos1 & André Luiz A. C. Souza2

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